Merkezi Limit Teoremi, sonlu bir ortalaması ve varyansı olan herhangi bir popülasyondan alınan bir rastgele örnek ortalamasının dağılımının, örneklem büyüklüğü yeterince büyükse yaklaşık olarak normal dağılacağını belirten temel bir istatistik teoremidir. Burada popülasyonun dağılımının bir önemi yoktur. Sadece sonlu bir ortalamaya ve varyansa sahip olması yeterlidir.
Merkezi limit teoremine girmeden önce kısaca normal dağılımın çok kısa ne olduğundan biraz bahsedelim.
Galton kutusunu duymuşsunuzdur. Galton kutusu normal dağılımı göstermek için çok güzel bir örnektir. Yukarıdan bir dizi topları bırakırsınız ve toplar çıkıntılara çarparak en altta normal dağılım grafiği şeklinde bir diğer deyişle Gaussian dağılım şeklinde toplanır. Bu dağılımı doğada bir sürü farklı yerde görürüz. Örneğin, fazla sayıda ve rastgele insanların boylarının grafiğini çizersek normal dağılıma yakın bir dağılım gösterdiğini gözlemleyebiliriz.
Merkezi limit teoremi için basit bir uygulama yapmak istiyorum. Örneğin elimizde bir hilesiz zar olsun. Bu zarın herhangi bir yüzünün gelme olasılığı 1/6'dır. Bu zarı 10 defa atıyorum ve bu sonuçların ortalamasını alıyorum. Ve bunu 3000 defa tekrar ediyorum. Bunu kısa bir python koduyla yapıyorum.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
def zar_at():
return random.randint(1, 6)
def zar():
ortalama_listesi = []
for _ in range(3000):
toplam = 0
for _ in range(10):
toplam += zar_at()
ortalama = toplam / 10
ortalama_listesi.append(ortalama)
return ortalama_listesi
zar_listesi = zar()
# Dağılım grafiğini çizdiriyoruz
ax,fig = plt.subplots(figsize=[9,5])
plt.hist(zar_listesi, bins=np.arange(1,6,0.1), edgecolor='black')
plt.xlabel('Toplam Zar Değeri')
plt.ylabel('Frekans')
plt.title('Zar Atışı Dağılımı')
plt.show()Ve sonuç..
Bir normal dağılım grafiğine benziyor değil mi?
Bunu istersek hileli bir zar üzerinde de yapabiliriz. Örneğin sırasıyla zar yüzeylerinin gelme olasılığı 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.05, 0.05 olsun. Buna da aynı işlemleri yaparsak..
def hileli_zar_at():
olasiliklar = [0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.05,0.05]
return random.choices(range(1, 7), weights=olasiliklar)[0]
def hileli_zar_ortalamasi():
ortalama_listesi = []
for _ in range(3000):
toplam = 0
for _ in range(10):
toplam += hileli_zar_at()
ortalama = toplam / 10
ortalama_listesi.append(ortalama)
return ortalama_listesi
..yine aynı grafiği verdiğini görürüz.
Bu hileli zar için beklenen değerimizi aşağıdaki formülle hesaplayalım.
Olasılık dağılımında ortalama hesaplama formülü
(0.2 1) + (0.32) + (0.3*3) + (0.1*4) + (0.05*5) + (0.05*6) = 2.65 çıkıyor.
Yani beklenen değerimiz 2.65'dir.
Bunu 1000 kere attığımız hileli zar için hesaplarsak 2.6587 değerini buluyoruz. Göründüğü gibi bu iki değer birbirine çok yakın.
Merkezi limit teoremi işte bunu açıklar. Dağılım farketmeksizin sonucun hep normal bir şekilde dağılacağını gösterir.
Comentarios